杭电多校第十场 1004 Permutation Counting 题解

题目大意

定义相邻数列，当$a_i<a_{i+1}$时，$b_i=0$，当$a_i>a_{i+1}$时，$b_i=1$。给你一个长度为n-1的相邻数列，问满足这个相邻数列的a数列有多少种。

解题思路

说实话，这个题目相当狠啊。

首先你可以构造一个数列c，从1开始按顺序填数字。

如果$b[i]$为1，则把这个数字放到左边。

如果$b[i]$为0，则把这个数字放到右边。

这样就可以构造出一个a数列，满足$\Large a_{c_i}=i$。

因为是从1开始从小到大开始填，所以这个数字的序列比之前的要大，放在左边的就一定小，放在右边的就一定大。

a数列与c数列是一一对应的，所以只需要求出c数列的种类，就是满足b数列的a数列的种类。

定义$dp[i][j]$为第i位填的数字是j的种类数。

如果$b[i]$是1，$dp[i+1][j]=dp[i+1][j+1]+dp[i][j]$。

因为第i+1位需要比第i位要小，所以这一位不能填i+1，只能填入1i，所以他可以继承左边的所有情况，即$dp[i][j]$，因为左边只有1i，同时也能继承比他大的情况，即$dp[i+1][j+1]$。

如果$b[i]$是1，$dp[i+1][j]=dp[i+1][j-1]+dp[i][j-1]$。

因为第i+1位需要比第i位要大，所以这一位不能填1，只能填入2~i+1，所以他只能继承左边比他小的情况，即$dp[i][j-1]$，同时也能继承比他小的情况，即$dp[i+1][j-1]$。

需要注意枚举的方向。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

const int N = 5050, mod = 1e9+7;
int b[N];
ll dp[N][N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t; cin >> t;
    while (t--) {
        int n; cin >> n;
        for (int i = 1; i < n; i++)    cin >> b[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++)  dp[i][j] = 0;
        }
        dp[1][1] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (!b[i]) {
                for (int j = 2; j <= i + 1; j++)
                    dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j - 1]) % mod;
            }
            else {
                for (int j = i; j >= 1; j--)
                    dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j + 1] + dp[i][j]) % mod;
            }
        }
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans + dp[n][i])%mod;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}