牛客寒假算法基础集训营1J-一群小青蛙呱蹦呱蹦呱 题解

题目大意

有n个格子，每个格子里有一个数，1,2,3,4…n

牛牛放出无穷只青蛙。

第一只青蛙的路线是：1->2->4->8->16->….

第二只青蛙的路线是：1->3->9->27->81->….

第三只青蛙的路线是：1->5->25->125->….

第四只青蛙的路线是：1->7->49->….

。。。。。。

用数学语言描述，第i只青蛙的路线是首项为1，公比为$p(i)$的等比数列，其中$p(i)$代表第i个素数。

当青蛙跳到一个格子上，如果这个格子上面有一个数，青蛙就会把这个数吃掉。

牛牛想知道，所有没有被吃掉的数的lcm是多少？

由于这个lcm可能非常大，请输出它对$10^9+7$取模的值。

解题思路

我们需要求所有没有被吃掉的数的lcm。

对于没有被吃掉的数来说，他们的lcm必然是所有数的因子的最大指数相乘。

那么由题目知道，被吃掉的数是小于n的质因子的次方。

如果某个数不被吃掉，那么他至少是两个质因子的乘积。

那么我们只需要求对于某个质因子来说，n以内的最大的次方，最后把乘积输出即可。

对于2来说，他本身就是最小的，所以最大的数是$3*2^k$，k就是最大的次方。

对于其他的质数来说，最大的数就是$2*p^k$。

然后答案就是$p_1^{k_1}\times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_n^{k_n}$。

因为不被吃掉的数至少是两个质因数相乘，所以质数筛只要筛到$\frac{n}{2}$就行，不然会超时。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pll pair<ll,ll>
#define pii pair<int,int>
#define bg begin
#define rbg rbegin
#define ed end
#define endl '\n'
#define dbg(x) cout << #x << "===" << x << endl
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

const int maxn = 2e8, N = 1e7, mod = 1e9 + 7;
int vis[maxn], prime[N], cnt = 0, n;
ll ans = 1;


int gcd(int a, int b) {
	return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
	ll ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)	ans = (ans * a) % mod;
		a = (a * a) % mod, b >>= 1;
	}
	return ans % mod;
}

ll cal(int x) {
	ll k;
	if (x == 2) k = log(n / 3) / log(2);
	else k = log(n / 2) / log(x);
	return qpow(x, k, mod) % mod;
}

void init() {
	rep(i, 2, n/2) {
		if (!vis[i]) {
			prime[cnt++] = i;
			ans = (ans % mod * cal(i) % mod) % mod;
		}
		for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0)	break;
		}
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	//freopen("D:\\测试用\\in.txt", "r", stdin);
	//freopen("D:\\测试用\\out.txt", "w+", stdout);
	cin >> n;
	init();
	if (n < 6) {
		cout << "empty" << endl;
		return 0;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}